爱因斯坦147广相二现之引力缩短时间、降低光速及弯曲光线11.6

    第三部分题为《重力场中的时间和光速》，这一部分借由速度瞬时等价加速度讨论了加速度对辐射频率的影响，根据等效原理将讨论结果推广到了引力对辐射频率的影响，并经由辐射频率的变换转换到时间测量的变化，最终，将引力场中不同引力势位置辐射频率和时间的变化归结到不同引力势位置光速的变化，最终说明引力场中光速是位置的函数，是可变的，为接下来计算引力场中光线的弯曲做了理论前提的阐述。

    首先，由均匀加速坐标系K´考察的第二部分S2以辐射形式向S1放出能量E的过程中辐射频率的关系为方程3（类似方程2，都是洛伦兹变换导出的一级近似）：

    n1=n2·（1+gh/c2）

    根据狭义相对论静系和动系的洛伦兹变换可以导出方程3，但爱因斯坦指出传统上光源与参照系相对运动导致辐射频率变化的多普勒原理也可以解释方程3：

    “因为，如果我们再次引用K´在光的发射时刻相对于它没有速度的那个无加速参照系K0，则当辐射到达S1时S1相对于K0的速度将是g（h/c），而我们由此就能借助于多普勒原理直接得出以上给出的关系式。”

    其次，根据均匀加速坐标系K´和引力场参照系K等价的等效原理，方程3可变为引力场参照系K考察S2以辐射形式向S1放出能量E的过程中辐射频率的关系方程3a（类似方程2a）：

    n1=n2·（1+Φ/c2）

    将S2处发射的辐射频率n2置换为太阳表面处发射光线频率n0，将到达S1处的辐射频率n1置换为地球接收到的光线频率n，则方程3a可变为方程3b：

    n=n0·（1+Φ/c2）

    其中，Φ是太阳表面和地球之间的引力势差（的负值）。

    由此，方程3b则解释了太阳光谱线在地球检测时的红移现象，即太阳光谱线检测结果频率降低的现象，当然，由于各种因素的干扰及结果的微小，检测上可能比较困难：

    “于是，按照我们的观念，太阳光的谱线和地上光源的对应谱线相比必然会稍稍移向红色一端，其相对频移达到

    （n0-n）/n0=-Φ/c2=2·10-6

    假如太阳光发生时所处的条件是确切已知的，这一频移就将可以用实验来检验。然而，既然另外的因素(压强、温度)会影响谱线密度中心线的位置，那就很难确定以上已经导出的引力势的影响是否真正存在。

    （注：爱因斯坦在论文此处中备注了：L.F.Jewell(Journ.dephys.6[1897])特别是Ch.Fabry和H.Boisson(Compt.rend.148[1909]：688-690)确实确证了细谱线向光谱红端的频率，其数量级和以上算出的相同，但是他们把它归困于吸收层中的压强的效应。）”

    再次，爱因斯坦将均匀加速坐标系K´和引力场参照系K中辐射频率辐射频率的变化引导到了时间测量的问题上。

    1、引力场参照系K考察的S2和S1处引力势不同，不能简单的认为两处的时间一样，因此，才导致了同一辐射能量在S2和S1处频率的变化：

    “初看起来，方程3和3a似乎断定了某种荒诞的事情。如果光从S2到S1的输送是连续的，每秒到达S1的周期数怎么可能和从S2发出的不同呢？

    然而答案是简单的。我们不能简单地把n2和n1看成频率(每秒的周期数)，因为我们还没有在K（注：引力场参照系K）中定义一种时间。

    n2代表参照S2处的时钟U上的时间单位来定的周期数，而n1则代表参照S1处的构造完全相同的时钟U上的时间单位来定的周期数。不存在任何东西迫使我们假设处于不同引力势的时钟U必须被认为走得一样快。”

    2、同一辐射能量的频率在同一引力场参照系K中应该是相同的，为此，需要修改引力场参照系K中时间的定义，即不同引力势位置的时间不同：

    “相反地，我们肯定必须适当定义K中的时间，以便S2和S1之间的波峰数和波谷数不依赖于时间的绝对值，因为所考虑的过程在本性上是定态的。

    假如我们没有满足这个条件，我们就会得出一种时间的定义，当应用了这种定义时，时间就会显式地出现在自然定律中，那当然是不自然的和挺别扭的。

    因此，S2中的和S1中的时钟就并不是正确地给出“时间”。如果我们在S1处用时钟U来量度时间，我们就必须在S2处用另一个时钟来量度时间，而当在同一个地方互相比较时，后一时钟（注：S2处T2）比时钟U（注：S1处T1）走得较慢，二者之比（注：S1处/S2处）为1:(1+Φ/c2)。

    因为，当用这样一个时钟来测量时，以上所考虑的那条光线当在S2处发射时的频率就是n2·（1+Φ/c2），从而按照(3a)就是等于同一光线在到达S1时的频率n1。”

    3、经过上述烧脑的脑筋急转弯似一番绕圈圈，爱因斯坦最终给出了不同引力势位置光速可变的结论：

    “由此就得到一条对这一理论有着根本意义的推论。那就是，如果光速在加速的、无引力场的参照系K´的不同位置上被用构造全同的时钟U来量度，则所得的结果到处相同。

    按照我们的基本假设，同样的推论对K也成立。但是，按照刚刚说过的条件，我们必须用构造不同的时钟来在引力势不同的各点上测量时间。

    为了在相对于坐标原点而言的引力势为Φ的一点上测量时间，我们必须使用一个时钟，当把它移到坐标原点上时，它比用来在坐标原点上测量时间的那个时钟要走得慢(1+Φ/c2)倍。

    如果c0代表坐标原点上的光速，则引力势为Φ的一点上的光速c由下式方程4给出：

    c=c0·（1+Φ/c2）

    通常用作狭义相对论之基础的那种表述下的光速不变原理，在这一理论中是不成立的。

    （注：如此设定下保证了不同引力势位置，光速/时间的不变性，也保证了辐射频率的不变性，而离引力源越远，引力势越大，则时间越慢越长，而光速越快。

    由此处的论述可以认为无引力影响的惯性参照系相当于距离引力源无穷远，其光速（c）最快，时间最长（T2）；

    引力的存在则会降低光速（c0），缩短时间（T1）；

    辐射频率对所有参照系则都是不变的，检测出辐射频率的变化则是错用时间和光速等其他可变因素导致的。）”

    第四部分题为《光线在引力场中的弯曲》，这一部分根据第三部分得出的最终结论引力场中的光速是位置的函数，利用惠更斯原理计算了穿过一个重力场而传播的光线受到的偏转数值：

    “由以上已证明的引力场中的光速是位置的函数这一命题，人们很容易利用惠更斯原理推出，穿过一个重力场而传播的光线必然会受到偏转。”

    设e是个平面光波在时刻t的一个等相平面，而P1和P2是这个平面上相距单位距离的两个点，c1和c2是P1和P2上的光速，则c·dt上的偏转角为方程5：

    （c1-c2）·dt/1=-∂c/∂n´·d

    其中，设光线偏向n´增大的方向时偏转角为正值。

    光线在单位程长上的偏转角为方程6：

    -1/c·∂c/∂n´

    根据方程4：c=c0·（1+Φ/c2），方程6可变为方程6a：

    -1/c2·∂Φ/∂n´

    由此，根据方程6a，光线在任意光程(s)上向n´方向的偏转角α为方程6b：

    α=-1/c2·∫∂Φ/∂n´·ds

    对方程6b的得出，爱因斯坦也简要提及了另一种推导思路：

    “通过直接在均匀加速的系K´中考虑光线的传播并把结果换到系K中，然后再转换到任意构造的引力场的事例中，我们也能得到相同的结果。”

    方程6b说明在一个天体附近经过的光线将受到一种趋向引力势减低方向的，从而也就是向着天体的方向上的偏转，其偏转角的量值为方程6b1：

    α=1/c2·∫（θ=-π/2，θ=+π/2）kM/r2·cosθ·ds=2kM/（c2·Δ）

    其中，k是引力常量；M是天体的质量；Δ是光线离天体中心的距离。

    将数据带入方程6b1可得，在太阳附近经过的一条光线，将受到角度为4·10-6=0.83s的偏转：

    “这就是由于光线的弯曲而使一个星体离太阳中心的角距离似乎有所增大的那个量。既然在日全蚀中位于太阳附近那一部分天空中的各恒星会变成可见的，那就有可能把理论的这一推论和经验进行比较。在木星的事例中，所应预期的角距离约为上述量值的1/100。

    非常希望的是天文学家们能够过问此处所提的问题，即使这里所提的这些想法显得不够可靠乃至有些太大胆。因为，除了任何理论以外，我们必须问问自己：

    引力场对光的传播的一种影响到底能不能用目前已有的仪器来加以探测。

    布拉格，1911年6月”

    这篇广义相对论再现论文《论引力对光的传播的影响》于1911年6月21日被《物理学年鉴》收到，最终于9月1日正式发表。