爱因斯坦146广相二现之论引力对光的传播的影响11.6

    1911年6月21日，《物理学年鉴》收到了爱因斯坦的论文《论引力对光的传播的影响》，这篇论文是爱因斯坦第二次在论文中讨论广义相对论，尝试着用广义相对性原理和等效原理来构建引力理论。

    上一次爱因斯坦探讨广义相对论还是1907年12月4日应《放射性与电子学年鉴》编委约翰内斯·斯塔克约请撰写的综述狭义相对论的论文《关于相对性原理和由此得出的结论》，在这篇约稿论文最后的17-20部分，爱因斯坦首次在论文中探讨了广义相对性原理和等效原理，提出了广义相对论的核心原理——引力与加速度等效，并以特殊的三种参照系（静系、加速系和与加速系瞬时重合的动系）的场景设置，借助狭义相对论的洛伦兹变换，应用等效原理简要探讨了引力对空间、时间和电磁过程的影响，详情见本作《爱因斯坦84》。

    现在爱因斯坦的科研地位已由1907年广相初现时的伯尔尼专利局技术专家经由苏黎世大学理论物理学副教授和最近的布拉格德文大学理论物理学正教授升了两级，其学术地位在业界得到了极大提升。当然，其理论物理学的创作也依然没有止步，只不过在1905年的奇迹年理论创作高峰后，爱因斯坦大多的精力都投入到了辐射理论和量子论的探索中，而更大的原因则是爱因斯坦本人对应用广义相对论原理和等效原理来构建理论依然鲜有思路，而这篇1911年6月21日的《论引力对光的传播的影响》则是其构建广义相对论的第二次尝试，可称作广相二现论文，以对应1907年12月4日的广相初现论文《关于相对性原理和由此得出的结论》。

    广相二现论文与初现论文思路略有区别，整体阐述更加严谨，但依然是用简单的数学工具（尚未采用非欧几何来描述引力），依托狭义相对论的洛伦兹变换，依据引力和加速度等效的原理来探讨引力对质量、时间和光线的影响，全文共分四部分。

    首先是论文的研究背景，爱因斯坦自己对1907年12月4日广相初现论文《关于相对性原理和由此得出的结论》的处理不太满意，而且现在又根据自己的理论研究得出了一个太阳引力场弯曲光线的具体数值，因此，自认有必要通过论文宣示一下自己近期的研究进展：

    “在一篇三年前发表的论文中（注：1907年12月4日广相初现论文《关于相对性原理和由此得出的结论》），我已经试着回答了光的传播会不会受到引力的影响的问题。现在我要回到这一课题，因为我对这一课题上次的处理不满意；

    但是，甚至更重要的是因为我现在已经意识到，那种分析的最重要推论之一是可以受到实验的检验的（注：依据等效原理和洛伦兹变换能够计算太阳引力场弯曲光线的角度）。特别说来，现已看到，按照我现在即将提出的理论，在太阳附近经过的光线会受到太阳引力场的偏转，于是出现在太阳附近的一个恒星就会显示和太阳的角距离的一个增量，其大小几乎为1s（注：这篇论文的结论是太阳引力场弯曲光线0.84s，结果为1915年完全版广义相对论结论的一半，也是真实结果的一半，广相的最终成功在当时依然是前途漫漫。这个初步的计算结果考虑了引力对时间的弯曲作用，没有考虑到引力对空间的弯曲作用）。”

    当然，爱因斯坦也知道现在的广相初级理论距离梦想中的完全版广义相对论还相距甚远，现在的结论和探讨只是初步的，其理论原则虽然正确但结论关系只是一级近似。不过，爱因斯坦当时也尚未意识到理论的构建需要更换数学工具的事，传统的微积分理论应对广义相对论的构建还是太稚嫩了，而发现非欧几何后也就一通百通了，甚至在不久邂逅非欧几何后，爱因斯坦和格罗斯曼合作都得出了距离最终版广义相对论场方程只差一步之遥的引力场方程：

    “在进行分析的过程中，得到了有关引力的更多的结果。但是，既然全面论证的提出是很难追随的，我在下面将只提出不多几点初等的想法；

    在这些想法的基础上，人们对理论的假设和推理思路很容易摸到一些头绪。

    即使他们的理论基础是正确的，此处所导出的这些关系也是只在一级近似下成立的。”

    广相二现论文《论引力对光的传播的影响》第一部分题为《关于引力场之物理本性的假设》，这一部分主要以设定参照系的方式描述了等效原理，即均匀重力场空间中的静止坐标系K等效于无重力场（引力场）空间中均匀加速运动的坐标系K´：

    “在一个均匀的重力场中(重力加速度为g)，设有一个静止坐标系K，其取向适当，使得重力场的力线是沿着负z轴方向的。

    在一个没有引力场的空间中，设有另一个以均匀加速度(其加速度为g)沿着正z轴方向而运动的坐标系K´。”

    没有受到其他质点作用的质点由两个坐标系考察都符合同样的运动方程，其中，无重力场（引力场）空间中均匀加速运动的坐标系K´考察的根据是伽利略惯性原理；而均匀重力场空间中的静止坐标系K考察的根据则是人们的经验观察，同时对这一观察人们并没有给予应有的重视：

    “于是，为了避免不必要地把分析弄复杂，我们将暂时不考虑相对论，而按照常规的运动学来考虑这两个坐标系，并按照习见的力学来考虑发生于各系中的运动。

    没有受到其他质点作用的质点，将按照下列方程而相对于K，同样也相对于K´来进行运动：

    d2xv/dt2=0，d2yv/dt2=0，d2zv/dt2=-γ。

    对加速系K´来说，这是伽利略原理的直接推论；

    但是对于静止在均匀引力场中的系K来说，这却是由经验得来的，就是说，根据经验，一切物体在这样的场中都接受到一个相同的常值加速度。这种一切物体在重力场中等同下落的经验，是自然观察所赋予我们的最普遍的经验之一；尽管如此，这条定律在我们物理世界图景的基础中却没能得到一个地位。

    但是，如果我们假设系K和系K´在物理上是完全等价的，也就是说，如果我们假设系K同样可以被设想为出现在一个没有引力场的空间中，但这时必须把K看成均匀加速的，那么我们就能得到上述经验定律的一种很满意的诠释。有了这种观念，人们就不再能够谈论参照系的绝对加速度，正如在狭义相对论中不能谈论一个系的绝对速度那样。有了这种观念，重力场中一切物体的等同下落就是不言而喻的了。”

    在第一部分的最后，爱因斯坦阐述了广义相对性原理，即加速系K´和重力系K的等价性不限于牛顿力学，而是适用于所有自然定律，这便是广义相对论另一个核心原理——广义相对性原理，自然定律对所有的参照系等价：

    “只要我们把自己限制在牛顿力学适用范围以内的纯力学过程方面，我们就能肯定地相信系K和系K´的等价性。然而，要使这种观念得到更深刻的重要性，系K和系K´必须对一切物理过程都是等价的，也就是说，相对于K的自然定律必须和相对于K´的自然定律相重合。

    如果接受这一假设，我们就得到一条具有很大启发意义的原理，如果它确实正确的话。因为，通过相对于均匀加速参照系而发生的过程的理论分析，我们就得到关于发生在均匀引力场中的过程进展情况的信息。

    以下我将首先证明，从狭义相对论的观点看来，我们的假说是有很大可能性的。”

    第二部分题为《论能量的重量》，这一份部分从辐射能量传输的角度，用狭义相对论的洛伦兹变换给出了能量和引力质量的关系。

    首先，狭义相对论已经证明物体的惯性质量随着它的能含量而增加，即质能方程，惯性质量的增量为E/c2，其中E为能量，c为光速。

    而本文第二部分要说明的是能量和引力质量的关系依然符合质能方程，当然，按广义相对论的等效原理，惯性质量等于引力质量，这里的能量和引力质量的关系证明是不言而喻的。

    设均匀重力场系K中有两个物质体系S1和S2，S1在坐标原点，S2在z轴正向距S1为h处，则S2中的引力势比S1中的引力势大g·h；设S2以辐射形式向S1放出能量E。

    按等效原理，上述场景可以将重力系K转换为加速系K´来处理，并从一个无加速的参照系K0来评定S2以辐射形式向S1放出能量E的过程。

    设辐射能量E2从S2发出的时刻，加速系K´相对于无加速的参照系K0的速度为0；

    经过时间h/c（一级近似，距离h除以光速c）能量E1到达S1，此时S1也就是加速系K´相当于无加速的参照系K0的速度为g·（h/c）=υ（一级近似，加速度g乘以时间h/c即为速度）；

    则根据狭义相对论，E1和E2的一级近似关系为方程2：

    E1=E2·（1+υ/c）=E2·（1+gh/c2）

    （注：根据狭义相对论论文《论动体的电动力学》，本作《爱因斯坦48》公式34E´/E=√[（1-υ/V）/（1+υ/V）]，此处的E1相当于考察物体和参照系相对运动的静系E，而E2相当于考察物体和参照系相对运动为0的动系E´，V是光速，即为方程2中的c；

    因此，按公式34，一级近似下，便得上面的方程2。）

    其实，方程2描述的E1和E2的关系就是根据洛伦兹变换导出来的，这个关系式也是爱因斯坦初期的广义相对论探讨中的核心关系因子，在广义相对论初现论文中依靠的也是这个关系式，不过，其得出过程与此处不同，是以三个参照系对同时事件的瞬间等价描述中得出来的，具体可见总结狭义展望广义相对论论文《关于相对性原理和由此得出的结论》第18部分《在一个均匀加速参照系中的空间和时间》，本作《爱因斯坦84》：

    {爱因斯坦考察了在极短时间内三个参照系时间的关系。首先对于加速系∑和瞬时与其重合的动系S´来说，同时的两个事件在瞬时对两个参照系都是同时的，根据洛伦兹变换，以静系S坐标来表示则为公式1：

    t1-υ/c2·x1=t2-υ/c2·x2

    [注：即动系S´考察的两个事件时间分别为t1´=β（t1-x1·υ/c2）和t2´=β（t2-x2·υ/c2）而t1´=t2´，如此可得上式。]

    在极短的时间内下列关系式2成立：

    x2-x1=x2´-x1´=ξ2-ξ1，

    t1=s1，t2=s2，

    υ=gt=gt。

    其中，加速系∑空间坐标和时间坐标为ξ，η，ζ，t。

    将关系式2代入公式1可得公式3：

    s2-s1=gt/c2·（ξ2-ξ1）

    得出公式3后爱因斯坦进一步做了简化处理，把第一个点事件移到坐标原点，从而使s1=τ和ξ1=0，略去第二个点事件的右下角指标，得到公式4：

    s=t·（1+gξ/c2）

    其中，s是地方时，τ是加速系∑时间，g是加速度，ξ是加速系∑空间坐标，gξ即重力势能Φ，c是光速。

    公式4就是爱因斯坦初始考虑广义相对论时得出的核心公式，后面的理论探讨就是以这个公式4为前提和主要手段，当然这是一个极短瞬间成立的特殊公式，但也是爱因斯坦开始研究广义相对论时的起点……}

    与广相初现得出的关系式相比，广相再现得出方程2给人的感觉自然了很多，老实说，广相初现得出再现论文方程2的关系式的方式有些牵强，逻辑上的说服力不是太大，而再现论文得出方程2的关系式的方式明显逻辑性强了很多，更能令人接受，当然，这个关系式的由来其实都是狭义相对论的洛伦兹变换，其理论基础则是惯性系下的光速不变原理，后面我们将看到，爱因斯坦还论证了引力改变了光速，引力势不同，则光速也不同。

    将方程2中的gh换为引力矢量的势Φ，将S1处的引力矢量的势取为0，则方程2可变为方程2a：

    E1=E2+Φ·E2/c2

    方程2a说明到达S1处的辐射能量E1比发射辐射能量S2处的能量E2多了质量为E2/c2的重力势能：

    “因此，为使能量原理能够满足，在能量从S2被发出之前就必须给它指定上一个和(引力)质量E/c2相对应的重力势能（注：即能量E对应有引力质量E/c2）。

    于是，我们的K和K´的等价性假设（注：引力和加速度等效，意即引力质量等于惯性质量）就消除了本节开头处提到的那个困难，那是狭义相对论留下来没有解决的。”

    怕大家不明白，爱因斯坦又以两种方式论述了上述阐述的能量E对应有引力质量E/c2的观点。不过，感觉这赠送的两种阐述并没让人更明白，而是感觉更绕了，尤其是下面的第一个详细分析能量传输过程的说法更令人感觉脑筋急转弯的绕，而且最终是按S1处的引力质量为M的物体接受辐射能量E1后引力质量增大为M´又回到了S2处处理的，意即辐射能E已完全化为引力质量E/c2：

    “这一结果的意义将通过下述循环过程的考虑而变得特别清楚：

    1.能量E(在S2处量度)以辐射的形式从S2向S1发出，而按照我们刚刚得到的结果，在S1处将有一个能量E(1+gh/c2)被吸收(在S1处量度)。

    2.一个质量为M的物体W从S2下落到S1，在此过程中一个功Mgh被释放。

    3.当物体W在S1中时从S1向W输送能量E。这就会改变引力质量M从而它的新值将是M´。

    4.W升回到S2，这就需要加上一个功M´gh。

    5.E从W送回到S2。

    这一循环过程的惟一结果就是S1得到了一个能量增量(Egh/c2)(注：S2以辐射形式向S1放出能量E的过程），而一个能量M´gh-Mgh（注：吸收辐射能增加引力质量物体由S1回到S2），则以机械功的形式传给了体系。

    于是，按照能量原理，我们应有Egh/c2=M´gh-Mgh，或者写成M´-M=E/c2。

    因此引力质量的增量就等于E/c2，从而就等于由相对论求得的惯性质量的增量。”

    赠送的阐述之二为按等效原理，惯性质量就是等于引力质量，狭义相对论的质能方程已经指出能量与惯性质量等价，因此，也与引力质量等价：

    “这一结果可以更直接地从系K和系K´的等价性推出；按照这种等价性，相对于K的引力质量完全地等于相对于K´的惯性质量，从而能量必须有一个等于其惯性质量的引力质量。

    如果有一个质量M0挂在系K´中的一个弹簧秤上，则弹簧秤将由于M0的惯性而指示其表现重量M0g。

    如果把能量E传送给M0，则弹簧将按照能量的惯性原理而指示（M0+E/c2）g（注：质能方程）。

    按照我们的基本假设，如果实验在系K中，也就是在引力场中被重做，完全相同的情况也会出现（注：等效原理）。”