欧拉乘积公式的推导过程，大学课本里还是有的，但又有多少人会自己推导一遍呢？

    将公式直接拿来用就完事了！

    经过田立心连比带画地将这个公式推导了一遍，许多人都豁然开朗了。

    但还有不少人根本就不知道，这个公式的意义在哪？

    欧拉乘积公式的意义在于，对全体质数的某些运算可以转移成对全体自然数的运算。这么一来，通过研究对自然数的求和Σnn-s，就有可能对质数获得更深刻的认识。

    这个求和是非常重要的，所以它有一个专门的名称，——黎曼ζ函数。

    这个函数明明是欧拉先提出来的，为什么会叫黎曼ζ函数呢？

    田立心并没有立即给出答案，而是提出新的问题，“我们来到第二个部分，我来先问几个问题，两个自然数互质的概率是多少？什么是互质？n个自然数互质有没有通项公式呢？”

    “自然数互质，意思就是它们没有共同的质因数，它们的最大公约数是1。例如2和3互质，2和15互质，但15和21不互质，因为15和21都以3作为质因数。由此得知，任意两个不同的质数是互质的，一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的，1和任意自然数都是互质的。”田立心解释了互质的概念后，便利用欧拉乘积公式写下了两个自然数互质的数学表示方法，并一步步计算了下去。

    计算的结果显示，得到n个自然数互质的概率正好等于所有自然数的倒数之和，这个数也称为调和级数——也就是1/ζ(s)。

    特别说明，这个函数中的s是大于1的。

    也就是说，随着s趋于无穷大，ζ(s)=Σnn-s当中只有第一项1不受影响，后面的项都迅速地趋近于0，所以ζ(s)会趋近于1。相应的，s个自然数互质的概率会趋近于100%。

    要是s=1呢？

    ζ(1)会等于无穷大！

    也就是说，调和级数是发散的！

    但在这个推导过程中，是包含一个前提的，——就是ζ(s)是一个有限值，或者说ζ(s)是收敛的。

    只有在这个前提之下，才能将它当成一个正常的数进行各种操作，例如乘以1-f(2)，消去所有包含2n的项。

    假如ζ(s)是发散的，这样的操作就是毫无意义的，这会带来各种各样的错误结果。

    被人调侃的全体自然数之和等于-1/12，便是这样计算出来的错误之一。

    那么，全体自然数之和等于-1/12，又是怎么被人证明出来的呢？

    这就要说到黎曼了。

    黎曼是德国著名的数学家，数学王子高斯的弟子。

    黎曼在二十八岁时发表了题为《论作为几何学基础的假设》的演说，就此创立了黎曼几何学。他将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体，后来，爱因斯坦也是运用黎曼几何和张量分析工具，才创立了新的引力理论——广义相对论。

    全体自然数之和等于-1/12，就是黎曼在运用欧拉乘积公式中偶然得到的副产品。

    正是在这个错误的结果的启迪之下，黎曼对欧拉乘积公式的运用提出了四条脉络。

    一，应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数，而不只是实数。

    二，可以通过解析延拓，让ζ(s)在s小于1的地方也获得定义。

    三，通过对ζ(s)的研究，可以对小于等于某个数的质数的个数，给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置。

    四，黎曼猜测ζ(s)的零点都位于某些地方。

    由此可见，黎曼在欧拉ζ函数上的研究上，显然是比欧拉更进一步的。

    他在加入解析延拓之后，使得ζ(s)在s小于1的地方获得定义。

    由此，欧拉ζ函数也就升级成了黎曼ζ函数。

    解析延拓又是什么呢？

    解析延拓就是扩大一个函数的定义域，使得该函数在一些原本没有定义的地方也有了定义，而在原本有定义的地方还跟原来一样。

    例如，在-1，1的区间里定义了一个函数y=x，它的函数图像是一条线段，从(-1，-1)连到(1，1)。将这条线段向两边延伸，而且可以延伸得任意远，这么一来，这个函数的定义域就从区间(-1，1)扩展到了整个数轴。

    全体自然数之和等于-1/12的结果，正是黎曼在解析延拓的计算中得来的。

    正确的表达方式应该是这样的，——ζ(-1)=-1/12。

    黎曼将黎曼ζ函数变形之后，写出了由一个阶梯函数、两个对数积分函数和一个质数计量函数组成的等式，并将这个结果发表了名为《论小于给定数值的质数个数》的论文，等式左边的阶梯函数表示一个质数的n次方等于1/n个质数。

    这意味着，这个函数是和质数的分布是相关的。

    等式另一边，其中一个是对数积分函数，其自变量取的是黎曼ζ函数的非平凡零点。

    从公式中不难看出，质数的全部信息都包含在黎曼ζ函数的非平凡零点之中。

    黎曼ζ函数的非平凡零点的位置又在哪呢？

    一个非平凡零点ρ的实部和虚部经常被记为σ和t，即ρ=σ+it。黎曼很快就证明了，ρ不可能出现在σ大于1或者σ小于0的地方。也就是说，非平凡零点只可能出现在0≤σ≤1的区域里。

    在复平面上，这对应于一条宽度为1的竖直条带，人们把它称为临界带。

    而根据黎曼ζ函数的形式，很容易发现零点对于实轴是对称的。

    如果σ+it是一个零点，那么它的共轭复数σ-it也是一个零点。

    因此，非平凡零点总是上下成对出现的。

    再根据黎曼的函数方程，即ζ(s)与ζ(1-s)之间的联系，很容易发现非平凡零点对于σ=1/2这条竖线是对称的。

    也就是说，如果σ+it是一个零点，那么1-σ+it也是一个零点。

    黎曼计算了几个非平凡零点的位置，发现它们的实部都等于1/2。例如第一、二、三个非平凡零点，实部都等于1/2，而虚部分别约等于14.1347、21.0220和25.0109。

    随后他就做出了一个大胆的猜想，——黎曼ζ函数所有的非平凡零点，实部都等于1/2。

    而这，就是黎曼猜想。