第二天我把想要好好学习的想法告诉了学霸，他很高兴，很欢迎我的加入。

    只是阿肥有些失落，因为这意味着从此以后他少了一个一起睡懒觉，打游戏，吹牛的伙伴。

    我也和学霸一样开始泡在图书馆里，然而令我惊讶的是发现了不少熟面孔，都是我们系的，好多个我还知道名字。

    这么多人都在努力学习，那我也不能落后。

    我翻开《高等数学》，打开第三章——微分中值定理与导数的应用，开始复习刚刚学过的泰勒公式：

    泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值......

    这些我还能看懂。

    然而这些......

    xo由导数的定义可知，当函数f(x)在点xo处可导时，在点xo的邻域U(xo)内恒有

    f(x)=f(xo)+f(xo)(x-x0)+o(x-xo)

    因为o(x一xo)是一个无穷小量，故有f(x)≈f(xo)+f(xo)(x-xo)。这是在对函数

    进行局部线性化处理时常用的公式之一。从几何上看，它是用切线近似代替曲线。然而，这样的近

    似是比较粗糙的，而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足，使得近似替代更加精密，

    数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理(泰勒公式)

    若函数f(x)在包含xo的某个开区间(a，b)上具有(n+1)阶的导数，那么对于任一

    ∞∈(a，b)，有

    f(xo)。f'(xo)_

    f“(xo)/

    (x-xo)2+..+

    f(o)(xo)。

    (x-xo0)n-

    f(x)=一

    +-

    (∞一xo)+

    2!

    n!

    O!

    1!

    我就看不太懂了。

    还有这些......

    中，Rn(x)=

    (e(x-x0)0+1，此处的ε为工与x之间的某个值。f(x)称为

    (n+1)!

    n阶泰勒公式，中，P(x)=f(x0)+f(xo)(x-x0)+...+

    f(m)(x0)

    (x-xo)”称

    n!

    为n次泰勒多项式，它与f(x)的误差Rn(x)=

    f0+1)(e)，

    (x-xo)

    )n+1称为n阶泰勒余

    (n+1)!

    项

    如果函数f(x)的n+1阶导数在N(xo)上有界M，从而有

    Rn(x)

    ≤lim

    lim

    (x-xo)”|=→20(n+1)!

    |x-xo|=0

    表明Rn(x)=o((x-xo)“)，另外也可证明对固定的x，当n→∞时，Rn(x)→0，

    即，要想使f(x)与Pn(x)误差减小，则可将|x-ro|取小，也可将n取大。在n阶泰勒公式

    中，xo=0，从而可得

    f(x)=f(0)+f(0)(x)+

    f(0)

    (2)2+..+

    fm)，(0)

    (x)“+Rn(x)

    2!

    此时Rn(x)为R，(x)=

    f(n+1)(e)，

    (x)“+1，其中ε为xo与x之间的某个值，该式称为函

    (n+1)!

    数f(x)在x=0处的n阶泰勒公式，也称作f(x)的n阶麦克劳林(Maclaurin)公式，其余项

    常写为o(x“)或者

    f(n+1)(0x)

    -xm+1(0<0<1)两种形式，用n+1阶导数表示的余项叫拉格

    (n+1)!

    朗日余项，用o(x“)或者o((x-xo)”)表示的余项叫作皮亚诺(Peano)项

    我就更看不懂了。

    找学霸给我讲了两遍，不太懂，我也不太好意思再麻烦他了。

    于是去找了陈家康，一个上高数课总能正确回答老师问题的人。

    他又给我讲了一遍，还是不太懂。

    一上午的时间连个泰勒公式的中值定理都没搞明白，不免有些灰心，但万事开头难，不能因为一点挫折就放弃。所以我决定下午继续攻坚克难。

    下午的图书馆仍旧坐满了人，我还在为这该死的公式费脑筋。

    看到了我的停滞不前，陈家康建议我说：

    “张伟，你要是暂时不懂泰勒公式的中值定理，也可以先复习一下罗尔定理。”

    “但是——”他接着道：

    “你要先明白它的证明过程——。”

    证明:因为函数f(x)在闭区间[a，b].上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，分

    两种情况讨论:

    1.若M=m，则函数f(x)在闭区间[a，b]上必为常函数，结论显然成立。

    2.若M>m，则因为f(a)=(b)使得最大值M与最小值m至少有-个在(a，b)内某点ξ处取得，从

    而是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a，b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马引理，可导

    的极值点一定是驻点，推知:f=0。

    另证:若M>m，不妨设=M，ξ∈(a，b)，由可导条件知，f(ξ+)<=0，f(-)>=0，又由极限存在

    定理知左右极限均为0，得证。

    我还在思考这个过程是怎么论证的，他又说话了：

    “但是这个定理也有几种特殊情况——”

    (1)有界开区间上的有界函数

    若函数f(x)在区间(a，b)上连续目可导，并有lian。f(x)=。li。f(x)=+∞(或

    .-∞)，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使得f'=0。

    (3)无界区间上的有界函数

    若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上连续且可导，并有。lim。

    _limf(x)=.1

    f(x)=A，则

    至少存在一-个ξ∈(-∞，+∞)，使得f(E)=0

    (4)无界区间上的无界函数

    若函数f(x)在区间(--∞，+∞)上连续且可导，瓶limf(x)=，lim，f(x)=+∞

    ∞→++0xc

    (或-∞)，则至少存在一个ξ∈(-∞，+∞)。使得f'(ξ)=0

    (5)半无界区间上的有界函数

    若函数f(x)在区间[a，+∞o)上连续且可导，并有。limf(x)=f(a)，则至少存在-个

    ξ∈(a，+∞)，使得f“=0

    (6)半无界区间上的无界函数

    若函数f(x)在区间[a，+∞)上连续且可导，并有。lim，f(x)=

    limf(x)=+∞(或

    -∞)，则至少存在一个ξ∈(a，+∞)，使得f'(5)=0

    证明

    这里仅选择特殊情况(2)、(3)加以证明，其余证明的思路大致类似。

    定理若函数f(x)在区间(-o，+o∞)上连续且可导，并有，limf(x)=，limf=A

    果-3+0∞

    则至少存在一-个ξ∈(←∞，+∞)，使得f(6)=0。

    证明:至少可取到-点c∈R，使f(c}≠A，则f(x)恒等于A，对于任意的实数ξ，都

    有f“=0

    不妨设f(c)

    A-f(c)

    显然e>0.根据极限定义，由limf(x)=A

    可得

    证明:任取c∈R，因为。lim.f(x)=+∞，所以至少存在一点a∈(-∞，c)，使

    f(a)>|f(c)

    于是，f(x)在闭区间[a，可上连续，则在闭区间[a，6]上必有f(x)的最小值点ξ，由于闭区

    间[a，6]的两个端点都不可能是f(x)的最小值点，由此可知ζ∈(a，b)，根据费马定理可知

    f'(ξ)=0

    或许这些对陈家康来说很简单，但在我眼中这就是天书。从前班上学习不好的同学总说课本就像天书一样难懂，我还觉得他们矫情。现在发现，我也成了矫情的人。

    刚才陈家康在讲题的时候，学霸也过来听了好一会儿，之后我看见他回座位拿笔对着书本在纸上写了又写，写了又写，大概是演算不顺吧，他又看着书，而左手反复地抓头发，抓起，松开，松开，再抓起。

    学霸想必也很苦恼吧，他并不聪明，他只是努力。

    第二天清晨，学校的土操场上一个少年拿着本书在大声地背诵英语单词：

    “sun!sun!Sun!”

    “rise!rise!rise!”

    “sun!sun!Sun!”

    “rise!rise!rise!”

    ......

    这个大清早在操场背单词的少年，就是我。

    学霸没有跟我一起，他去教室继续刚高数了。

    我不像他那么头铁，学习要讲究方法，既然打不过那我就绕开它，先攻英语。

    学习带来的充实感使我愉悦，虽然这愉悦和充实更像是一种对大脑的麻痹和欺骗。

    当一个人觉得自我高大起来的时候，他就会以自我的角度居高临下地看着周围的人，甚至为他们担心。

    现在的我就在担心豪哥，阿肥不管怎样还能学一点，豪哥天天早出晚归，几乎是一点都不学啊，有好多次直接就翘课了。

    那天晚上我向他表达了我的担心，他却笑嘻嘻地说：

    “没事，不用担心，这些课考前突击复习一下就能过了，好多人都是这样的。”

    我不相信，毕竟高数这么难，我费了那么大的劲都学不明白，又怎么可能有人随便突击几天就能及格？但话已至此，多说无益，我也就闭上了嘴。

    在学校的时间总是过得很快，我不愿用白驹过隙这个被频繁使用的词语去形容它，但确实就是这个意思。

    而我也不像当初立志时那么坚定，一天又一天枯燥无聊的学习如流水腐蚀岩体那样，侵蚀了我的意志，偶尔我也会偷偷地打把王者，看两集动漫，或者睡个懒觉。

    但当我将比较的目光看向豪哥和阿肥时，心中又会感到些许优越感，那优越感中还夹杂着几丝窃喜。

    不管怎样，我还是比他们强的么，毕竟我在学习上投入了那么多时间。

    转眼期末周快要到了，在最后一节高数课上，老师划了考试范围和重点，这一天教室又恢复了第一次高数课的盛况，无人翘课，无人睡觉，全体人员，认真听讲。

    “咳咳！”

    老师清了清嗓子，说道：

    “第一章里面极限的定义是要考的，函数的运算与初等函数的连续性也是要考的，都是小题，同学们不用担心；

    天冷了，老师喝了口保温杯里的水，翻了一页，接着说，

    “第四章主要就是不定积分，考的话也就是换元积分法，分部积分法，没什么可说的，但大家一定要把积分表背熟了，别背错了。定积分的话，掌握好概念和性质，具体我就不说了，换元法和分部积分法好好练练......”

    老师又圈圈划划了一大堆，等我们都记完了，他拧开保温杯盖子，吹了吹冒着的热气，喝了一口，接着说：

    “以上这些啊，是给那些准备考高分的同学说的，要是对自己不太自信的同学，只想不挂科，那就把咱们这学期的作业卷子多刷几遍，把解题步骤弄懂，及格不难。”

    接下来的两周我们宿舍进入了全面备战状态，阿肥卸载了王者，下了个作业帮和小猿搜题；

    豪哥也没去学生会了，最近我常常在图书馆看到他，和唐钰挨着坐一个桌子，这让我再次惆怅；

    而学霸更加夸张，这两周都没见他回宿舍睡午觉。

    两周后，我们迎来了《高数》考试。考前我极为恐慌，但当拿到试卷时，发现好多都只是作业上的原题换了个数字，只要解题步骤背清楚了就没问题。

    用了一个多小时，我做完了试卷上所有我会的题目，算了算分值，及格没问题了，幸运的话没准能上70。

    剩下的时间不多了，剩下的题我也不会做了，于是扣上笔帽等待交卷。黑板上挂着的时钟滴答滴答，我环顾四周，同学们还在奋笔疾书，看着桌子上的试卷，我突然觉得这一切无比可笑：

    高数课教给我们一堆晦涩难懂，弯弯绕绕，我想除了考试这辈子都用不到的数学知识，还美其名曰：

    “培养理性思维，提高文科生分析问题的能力，展现数学之美”，

    然而除了死记硬背下一些高数题目的解题步骤之外，我并没有觉得在理性思维上我有丝毫提升，当然，高数之美更是无从谈起。

    说的直白一些，我觉得学高数的目的就是考试，

    为了考试而学习，这多么荒谬啊！

    那一刻我觉得“学以致用”四个字竟是如此遥远。

    但我还是要感谢老师，虽然在他的课上我没有收获什么有用的东西，但毕竟他教给了我考试及格的方法，没有难为我。

    帮我一把是情分，不帮也是本分，我又能再去奢求什么呢？

    或许老师更明白这门课对于我们这些纯文科生的意义，大家都是在现有规则内行事，既然都无力改变，那就我把栅栏抬高一些，你们把身子放低一些，就过去了，你好我好大家好。

    如果这么一想，老师才是大智若愚。

    “叮——铃铃！”考试结束，我起身把考卷递给了监考老师，转身走出了教室。

    这之后我们又陆续参加了《大学英语》考试，《思修》考试，《管理学原理》考试。几天后，分数出来了：

    高数73

    英语83

    思修87

    管理学原理85

    公管系一共58人，我排第17，班里边有20人，我是第7名。而学霸在系里和班里的排名，是第4和第2。

    离谱的是全靠考前突击复习的阿肥和豪哥，成绩并没有比我差多少，反而豪哥和阿肥的高数还比我高两分，都考了75。

    我问阿肥为什么，他憨憨地回答我：“可能我记忆力好一些吧。”

    我又去问豪哥。

    “都是唐钰教得好。”豪哥的语气颇为自豪。