爱因斯坦92运动媒质电动力学第二论文08.5

    1908年5月7日，爱因斯坦和劳布完成了他们的第二篇关于运动媒质电动力学的论文，题为《关于施加于静止在电磁场中的物体上的有质动力》。这篇论文不是重述闵可夫斯基的工作，而是修正闵可夫斯基工作中的“失误”。

    爱因斯坦和劳布的运动媒质电动力学第二论文主要研究有质动力，这指的是电场和磁场施加于媒质体积元上的力。

    在论文一开始，爱因斯坦和劳布就指出了他们认为的闵可夫斯基工作中的失误，将传导电流和位移电流做了区别对待：

    “闵可夫斯基先生在新近发表的一项研究中，对于作用在任意运动物体上的源于电磁的有质动力，提出了一个表达式。如果人们把闵可夫斯基的表达式限定于静止的各向同性的均匀物体，则对于作用在单位体积上的力的X分量，人们就得到：

    （1）

    Kx=ρ·Ex+Iy·Bz-Iz·By

    其中ρ表示电密度、I是电传导电流、E是电场强度、B是磁感应强度。

    对我们来说，这一表达式似乎与电子理论的图像不一致。理由是：

    在磁场中，虽然一个被电流(传导电流)横穿的物体要经受一个力，但按照方程(1)，如果在磁场中的此物体不是被传导电流而是被一极化电流(∂D/∂t)所渗透，则情况将不是如此。从而按照闵可夫斯基的表达式，在位移电流和传导电流之间，原则上存在一种差别，使得一个导体不能被看做是具有无限大的介电常数的电介质（注：即位移电流不存在了，因为位移电流对应的便是无限大介电常数的电介质）。”

    指出闵可夫斯基工作中的失误后，爱因斯坦和劳布给出了自己论文的研究目的，导出真正的有质动力表达式，当然，鉴于两人数学水平目前跟不上闵可夫斯基那种专业级的数学教授，因此，两人的研究基于的对象是简化的（后来研究出广义相对论后，爱因斯坦说过此前自己的科学研究应用的数学就像儿戏）：

    “着眼于这种情况，对我们来说，根据电子理论对任意可磁化的物体导出有质动力，这似乎是令人感兴趣的。在这里我们提出这样一种推导，虽然要把我们自己限于静止的物体。”

    论文共分三部分，第一部分题为《与基本粒子的速度无关的力》，这一部分推导了电磁场对物质施加的与基本粒子的速度无关的力的X分量的表达式。

    论文首先给出了此类问题的研究模型：

    被束缚在平衡位置上的形成偶极子的由电和磁的有质量粒子的空间位移构成电极化和磁极化，同时，还存在不束缚于偶极子的可移动的传导电子，则物质和电磁场之间的相互作用便是由这些粒子与电磁场的相互作用所导致的。

    因此，电磁场对物质的单位体积元所施加的力便是电磁场对所考虑的体积元中所有基本电粒子和磁粒子所施加的有质动力的合力，而不切割任何电或磁偶极子的边界便是体积元的边界。

    首先电场对偶极子施加力的X分量F1x为方程1：

    F1x=Px·∂Ex/∂x+Py·∂Ex/∂y+Pz·∂Ex/∂z

    其中，P是单位体积中所有电偶极子矩的矢量，即电极化矢量；E是电场强度。

    如果正传导电子和负传导电子的代数和不为零，则作用在单位体积中所有传导电子的有质动力的X分量F2x为方程2：

    F2x=ExΣe

    其中，∑e是单位体积中所有传导电子电质量代数和。

    按照高斯定律和位移矢量D的定义，∑e=divD，则方程2变为方程2a：

    F2x=Ex·divD

    （注：div是散度算符。）

    将方程1和方程2合起来便是电场强度对单位体积的物质所施加的力的X分量Fex，此为方程3：

    Fex=F1x+F2x=Px·∂Ex/∂x+Py·∂Ex/∂y+Pz·∂Ex/∂z+Ex·divD

    方程3描述的就是静电问题中的有质动力，将其与静电学中所用的有质动力表达式比较，可以令p=（e-1）E，

    其中，p是单位体积中所有电偶极子矩的矢量，即电极化矢量；E是电场强度；e是介电常数。

    则方程3可变为方程3a：

    Fex=Ex·divD-E2/2·∂e/∂x+{∂[（e-1）E2]/∂x}/2

    对方程3a论文进行了一定的文字说明：

    “这一表达式中的前两项与来自静电学中的那些熟悉的表达式是相同的，正如人们可以看到的那样，第三项可以从一个势中导出。如果所涉及的力是在真空中作用于一物体，则此项对遍及整个物体的积分就没有任何贡献；然而，如果所涉及的有质动力作用于液体，则对应于第三项的那部分力就被液体中平衡时的压力分布所抵消。”

    （注：方程3a这段在论文第一部分的最后，本作将其提到方程3的后面。）

    由类似的方式考察，可得磁场强度对单位体积的物质所施加的力的X分量Fmx为方程4：

    Fmx=Dx·∂Hx/∂x+Dy·∂Hx/∂y+Dz·∂Hx/∂z

    电场强度和磁场强度不仅给予各向的异性物体一个力，还给予作用在物质上的力偶，其对单位体积的物质的所有电偶极子和磁偶极子施加的力矩Я为方程5：

    Я=pE+MH

    其中，p是单位体积中所有电偶极子矩的矢量，即电极化矢量；E是电场强度；M是磁极化矢量；H是磁场强度。

    第二部分题为《与基本粒子的速度有关的力》，这一部分通过分析作用在由一传导电流穿过的物体上的力的方式证明了极化电流和传导电流对于电动力学作用是完全等价的，以证实论文一开始指出的闵可夫斯基工作中的失误。

    这一部分传导电流穿过的物体的场景一设计为由可磁极化的材料构成的、横截面无限薄的、宽度为b的条带在与纸面垂直的两个方向上无限延伸，并被置于均匀磁场Ha中，磁场的方向对读者来说为向下方向，上述物质条带被传导电流i穿过。

    均匀磁场Ha在物质条带的顶端和底端感生出密度为Ha（1-1/m）的各磁化层，其中m是磁导率，其方向在顶端的层是负的，在底端的层是正的，即对读者来说条带上方层为负的，下方层为正的。每一层磁化层都受到因电流i流过条带而引起的力的作用，其大小为（1-1/m）Ha·i，论文中说此前这种力人们没有考虑到。

    这个力（1-1/m）Ha·i和由于电流流过磁场对条带的体积元施加的力R之和就是施加在条带的单位长度上的全部力Ha·i，其为方程6：

    （1-1/m）Ha·i+R=Ha·i

    也可以写成方程6a的形式：

    R=Ha·i/m=Hi·i

    其中，Ha是外在磁场强度，i是通过物质条带的传导电流，m是磁导率，R是由于电流流过磁场对条带的体积元施加的力R；Hi=Ha/m，论文中只是称其为“场强”，应该是外在磁场强度引起的条带内磁场强度。

    （注：爱因斯坦和劳布的两篇关于运动媒质电动力学的论文符号方面与现代通用的不一致也是理解论文的一大障碍，更麻烦的是论文中用的符号很别致，不常见。而且这篇论文里不时强调磁场强度和磁感应强度不同，但也没指出具体的不同之处，更令人忧心的是论文语境中的磁场强度和磁感应强度概念和现代的也未必一样。论文里磁力、电力和磁场强度、电场强度的说法也是混用，就是论文引用的高斯定律等其形式与现代教科书的也不样，对现代的小白来说，这些都是理解论文的障碍。）

    接下来，论文又设计了一个具体的场景二——一个被空虚空间所包围并被电流I穿过的、沿坐标系的X轴在两个方向无限延伸的、与X轴垂直磁化的、硬磁体圆柱形导体，导体的材料常数以及磁场矢量（论文称为“磁力H”）与x无关，为y和z的函数——并计算了其R值，即由于电流流过磁场对条带的体积元施加的力。这个场景中没有外在的磁场作用在导体上，目的是证明距导体很远处的磁力H为0。

    首先，根据磁场强度对单位体积的物质所施加的力的X分量Fmx方程4和论文第二部分开始提出的作用在载流体积元上的体积力Fs=IH/c，可得在Z轴方向作用于导体单位长度上的总力R为方程7：

    R=∫（Dy·∂Hz/∂y+Dz·∂Hz/∂z）d¦+∫（Ix·Hy·d¦）/c

    其中，d¦是YZ平面的表面元。

    论文第二部分剩下的工作就是对方程7积分过程的具体分析：

    首先，方程7第一项有如下关系式7a（微积分运算法则）：

    Dy·∂Hz/∂y+Dz·∂Hz/∂z=∂（Dy·Hz）/∂y+∂（Dz·Hz）/∂z-Hz（∂Dy/∂y+∂Dz/∂z）

    由于力在无限远处等于零，则关系式7a前两项对YZ平面中的积分为0；

    由于散度divB=0，关系式7a第三项可以被替换，则方程7第一项积分变为方程7b：

    ∫Hz（∂Hy/∂y+∂Hz/∂z）d¦

    方程7b有如下关系式7c（微积分运算法则）：

    Hz（∂Hy/∂y+∂Hz/∂z）=∂（Hy·Hz）/∂y+（∂Hz2/∂z）/2-Hy·∂Hz/∂y

    关系式7c前两项积分为0，根据麦克斯韦方程，第三项可变为关系式7d：

    -Hy·（Ix+∂Hz/∂z）/c

    由上述7a到7d的论证，方程7最终变为方程7e：

    R=（-1/c）·∫Hy·（Ix+∂Hz/∂z）d¦+（1/c）·∫Ix·Hy·d¦=（-1/c）·∫Hy·（∂Hy/∂z）d¦=（-1/2c）·∫（∂Hy2/∂z）d¦

    因为力在无限远处为0，则方程7e最后的积分依然为0，因此，这就证明了设计场景二的目的：没有外在的磁场作用在导体上，则距导体很远处的磁力H为0。

    之后，论文以一段文字阐述总结了上述场景一和场景二的理论论证：

    “这样，在确定了作用在由一传导电流穿过的物体上的力之后，从电子理论的观点出发，通过指出极化电流和传导电流对于电动力学作用是完全等价的，我们就得到了作用在由一极化电流所渗透的物体上的力。”

    考虑到电现象和磁现象的对偶性，在电场中施加在由一磁极化电流所渗透的物体上的力为方程8：

    Fa=IH/c+（H·∂p/∂t）/c+（E·∂M/∂t）/c

    论文第二部分就此结束，第三部分题为《作用和反作用的相等》，这一部分总要综合前面两部分的内容，给出了作用在每单位体积物质上有质动力X分量的总的表达式，其为方程9：

    Fx=Ex·divD+Px·∂Ex/∂x+Py·∂Ex/∂y+Pz·∂Ex/∂z+Dx·∂Hx/∂x+Dy·∂Hx/∂y+Dz·∂Hx/∂z+（1/c）·（IH）x+（1/c）·（H·∂P/∂t）x+（1/c）·（E·∂D/∂t）x

    也可以写成方程9a：

    Fx=Ex·divE+（1/c）·（IH）x+（1/c）·（H·∂D/∂t）x+Dx·divH+（1/c）·（E·∂B/∂t）x+∂（Px·Ex）/∂x+∂（Py·Ex）/∂y++∂（Pz·Ex）/∂z+∂（Dx·Hx）/∂x+∂（Dy·Hx）/∂y+∂（Dz·Hx）/∂z-（1/c）·∂（E·H）x/∂

    利用麦克斯韦方程，用旋度curlH和curlE代替（s+∂D/∂t）/c和（∂B/∂t）/c，经过简单的变换，方程9a变为方程9c：

    Fx=∂Xx/∂x+∂Xy/∂y+∂Xz/∂z-（1/c2）·∂Бx/∂

    其中，各参数如下：

    Xx=-（E2+H2）/2+Ex·Dx+Hx·Bx，

    Xy=Ex·Dy+Hx·By，

    Xz=Ex·Dz+Hx·Bz，

    Бx=x（EH）x。

    相应的方程对有质动力的其他两个分量也成立。

    通过将9c在无限的空间中积分，如果场矢量在无限远处等于零，则得到方程9d：

    ∫Fxdτ=-（1/c2）·∫τ·dБx/d

    （注：方程右边后来修正为“总时间导数在积分号前”。）

    方程9d说明基于引入电磁动量，有质动力满足作用与反作用相等的定律。

    爱因斯坦和劳布第二篇关于运动媒质的电动力学论文《关于施加于静止在电磁场中的物体上的有质动力》就此结束，此文1908年5月7日完成，《物理学年鉴》5月13日收到，最终于7月7日与运动媒质的电动力学论文首文《关于动体的基本电磁方程》一起发表。