爱因斯坦64论确定电子的横向和纵向质量比的方法1906.8.4

    在1905年6月30日的狭义相对论论文《论动体的电动力学》最后一部分《(缓慢加速的)电子的动力学》中，爱因斯坦通过将洛伦兹变换应用到麦克斯韦-赫兹方程的方法考察了运动电子的动力学特征，并提出了电子纵质量μβ3和横质量μβ2的概念，其中β为洛伦兹因子[1-（υ/V）2]-0.5。

    现在1906年8月4日，爱因斯坦又向《物理学年鉴》投了一篇文章，提出了一种测定电子横向和纵向质量比的实验方法，这篇文章的题目为《论确定电子的横向和纵向质量比的方法》。在论文的开始部分首先是研究背景的介绍，这次的论文爱因斯坦难得的提到了别人的研究：

    “关于阴极射线有三个量可被精确地观察：产生射线速度的电势差(产生电势)、静电偏转和磁偏转。在这三个量中存在两个彼此独立的关系（注：磁偏转和静电偏转、产生电势和静电偏转），对在相当大的射线速度下这些关系的了解，在理论上具有突出的意义（注：比如评判狭义相对论通过洛伦兹变换对高速运动描述的正确与否）。其中一个关系，也就是在磁偏转和静电偏转之间的关系（注：这不是本文的研究目的），这已经由考夫曼先生通过β射线进行了考查。”

    以一段话介绍完研究背景后，爱因斯坦以一段话介绍了自己本文的研究目的，研究阴极射线产生电势和静电偏转之间的关系，当然研究的落脚点还是狭义相对论论文最后部分提出的电子纵质量μβ3和横质量μβ2：

    “我将在下面指出，在这些可被足够精确地测量的，也就是在阴极射线产生的电势以及静电偏转之间，存在另外一个关系，或者——同样可以说——把电子的横向和纵向质量比看成产生电势的一个函数。”

    之后，论文就进入了正文阶段，这篇论文没有分章节、部分，主要是提供了一种测定电子横向和纵向质量比的实验方法的设想，并列出了实验测试方法依据的几个公式。

    首先，电子速度的平方值远远小于光速的平方值时，忽略狭义相对论质能方程的质增效应，则质量为不变量，而电子便按方程1的规律运行：

    d2x/dt2=-eX/m0，等等（注：论文中y和z坐标的类似公式被省略了）

    其中，ε是电子的电荷，μ0是电子质量，x、y、z是电子的坐标，X、Y、Z是电场强度分量，t是时间。

    设电子从起始点阴极的x0、y0、z0以速度0开始运动，则电子的运动轨迹由方程2给出（注：抽象函数，未列具体形式）：

    x=j1（t），

    y=j2（t），

    z=j3（t）。

    静电力分量增加n2倍，则电子的运动轨迹由方程3给出（注：抽象函数，未列具体形式）：

    x=j1（nt），

    y=j2（nt），

    z=j3（nt）。

    对比方程2和方程3可以看出：“场的按比例的改变伴随着电子速度的改变，但它的轨道不变。”

    上面的讨论是情况一，情况二则为电子速度的平方值接近光速的平方值时，考虑狭义相对论质能方程的质增效应，则质量为变量，尤其是纵质量μβ3和横质量μβ2也有了较明显的差异（注：不考虑质增效应，则洛伦兹因子β为1，所谓的横质量和纵质量相等），则可以测出横质量和纵质量的比值：

    “只有在这样一些电子速度时，其时横向对纵向质量比明显不等于1，则由场的成比例变化就会导致轨道的明显改变。如果这样地选取静电场，使得阴极射线沿着非常弯曲的轨道运动，那么即使横向质量和纵向质量之间只有很小的差别也会导致对轨道的一种可观测效应。”

    接着，爱因斯坦在论文中文字描述了自己设计的测量电子的横向和纵向质量比的实验装置：

    “附图展示出了一种装置，利用它根据上述原理可以把电子的横向和纵向质量比测出来。阴极射线在接地的阴极K和接到一个电源M正端的阳极A(它同时也用做快门)之间获得速度，然后它通过一个和A连接的细管t引到金属圆柱R1和R2之间的空间。R1是接地的，而R2是和t也就是电源的正极相互通导，电源的负极接地。

    它们的尺寸需这样选取，使得在离开R2很短的距离，慢阴极射线近似地沿着一个圆周运动。这些射线然后进入有点近似锥形的管子t′，该管用金属和R2相连接，在管内安装有一个发磷光的屏S，安装在t′内部顶端的一根垂直金属丝D投影在S上。

    当加上慢阴极射线之时，D在S上的影子处于相当确定的位置(零位置)。如果射线产生的电势增大，线的影子将移动。在R1接地的连线之间插入电池B，影子就会恢复到零位置。”

    以上设计的实验中电子的横向质量μt和纵向质量μι的比值由公式4决定：

    μt/μι=ρX/（2Π）

    其中，ρ是成影射线的曲率半径；X是偏折电场力；Π是成影射线被偏转时的电势，也是赋予偏转射线动能的电势差，此实验中检测电子的动能为

    μι·υ2/2。

    Π的数值由公式5决定：

    Π=P-α（P-p）

    其中，P是R2的电势(电源M正极的电势)；p是影子处于零位置时的R1的电势；α是一个常数，由仪器的尺度所决定，比1小（注：因为电子沿靠近R2的圆形轨道运动）。

    同时，偏折电场力X和电势差（P-p）成比例，则公式5可变为公式6：

    μt/μι=常数·（P-p）/[P-α（P-p）]

    在允许的近似下公式6可变为公式7：

    μt/μι=常数·[1-（1+α）p/P]

    给出公式7后，爱因斯坦做了一段公式应用前景的说明：

    “由于α显然可以足够精确地得到，而P和p可以准确地测量到在百分之几之内，所以人们能得到的μt/μι和1的差异的难确度基本上是由线影零位置的精确度所确定。人们容易看到，可以把后者的精确度提高到足够大，以至于量μt/μι和1之间0.3%的差异(这对应于当`DS=10cm时，影子位移1mm)仍然能被注意到。特别值得提到的是，实验过程中的电势P的不可避免的涨落不会显著影响测量的精度。”

    之后，爱因斯坦给出了不同理论给出的μt/μι和Π之间的关系，以供实验家验证哪个理论更准确：

    “最后我们想给出在第一阶近似下从不同理论得到的μt/μι和Π之间的关系。如果Π的单位用伏特，那么我们得到：

    根据布赫雷尔的理论：

    μt/μι=1-0.0070·Π/10000

    根据亚伯拉罕的理论：

    μt/μι=1-0.0084·Π/10000

    根据洛伦兹和爱因斯坦的理论（注：即狭义相对论）：

    μt/μι=1-0.0104·Π/10000。”

    列出上面的三个理论预测的公式后，爱因斯坦以一句话结束了论文《论确定电子的横向和纵向质量比的方法》：

    “因为我不在做实验的岗位上，如果有一位物理学家对于上述的方法有兴趣，我将会很高兴。”

    这篇论文《物理学年鉴》于1906年8月4日收到，最终于同年11月20日发表。