爱因斯坦62重心运动的守恒原理及能量的惯性
爱因斯坦62重心运动的守恒原理及能量的惯性
在1905年奇迹年尚未被认证，爱因斯坦的理论尚未被主流接受，而他也依然名不见经传的时刻，他虽然在信中向索洛文忧虑自己最富创造力的年龄即将过去，但他并未灰心丧气而放弃自己的科研努力，而是继续勇敢的朝着自己开创的物理学理论道路前行。
在搬到新家后20天，1906年5月17日，《物理学年鉴》收到了爱因斯坦1906年的第二篇论文，题为《重心运动的守恒原理及能量的惯性》，简单说这篇论文是质能方程论文《物体的惯性同它所含的能量有关吗？》的延续，讨论的是质能方程，即能量和质量的统一，能量也具有自己的质量。
在论文《重心运动的守恒原理及能量的惯性》开始的研究背景部分，爱因斯坦以一段文字阐述重述了1905年9月27日的质能方程论文的基本结论：
“我在去年发表的一篇论文（注：1905年9月27日的质能方程论文《物体的惯性同它所含的能量有关吗？》）中指出，把麦克斯韦方程和相对性原理以及能量守恒原理相结合会导出如下结论，物体的质量随着它的所含能量的改变而改变，而和能量改变为何种种类无关。对应于能量改变量△E必须伴随着相同正负号的大小为△E/V2的质量改变，此处V表示光速。”
接着，爱因斯坦又以一段文字阐述简述了自己这篇质能方程姊妹篇论文的研究目的，证明能量也有质量的论断不仅符合力学过程，而且也符合电磁学，因此，能量和质量的紧密联系是物理学各领域都需要考虑的重要因素：
“在这篇论文中我要指出，上述定理(至少在第一阶近似内)是不仅发生了力学过程，而且也发生了电磁学过程的系统的重心运动守恒定律（注：在一个系统中，质量m与重心χ的乘积守恒）成立的必要和充分条件。虽然为证明这个陈述所必须的简单的形式考虑，已经主要包含在亨利·庞加莱（注：法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，1854年4月29日—1912年7月17日）的工作中，但是为了清晰起见，我自己将不以这项工作为基础。”
研究背景和目的介绍完后就进入了正文的阐述，正文分两部分，第一部分题为《一种特殊情形》，为了自己的研究论题，在这一部分的开始爱因斯坦就设定了一个思想实验，设在空间中有一个自由地浮动的、稳态的刚性的、内空的、横放着的圆柱体K，在K的右底（注：对读者来说是左侧）侧A中发出一个确定的辐射能量S，穿过空腔到达对面的左底B（注：对读者来说是右侧），A和B之间的距离为α。具体如下图所示：
辐射S作用在K的左内壁即B处，使K得到往左（注：依然是K的视角，对读者来说是往右的）的速度，此速度大小为S/（VM），其中V是光速，M是K的质量，S是辐射能量。
在辐射S被B吸收后，K归于静止，在此期间K运动的时间为α/V，则在此过程中K向左移动（注：依然是K的视角，对读者来说是往右的）的距离δ为δ=（Sα）/（MV2）。
为了研究物体的重心运动，设定活动空间圆柱体和能量源内部的辐射S后，爱因斯坦又设定在圆柱体K内部放着一个物体k，并描述了他在圆柱体K内部的运动过程：
“让我们在空腔K中放一个物体k(为了简单起见把它想象成零质量的)。物体靠近一个能推动它的机构(也是零质量的)。物体k首先位于B，在B和A之间跑来跑去。在辐射量S被B吸收后，它的能量就转移到k上，然后k向A运动。最后，能量S在A被空圆柱k取走，k将又移回到B去。这整个系统现在完成了完整的循环，人们可以想象任意多次地重复这个过程（注：在此过程中，整个系统各部分的重心在不断运动）。”
在上述过程中，辐射能S推动物体k在AB之间来回运动，接着，爱因斯坦在论文中假设如果物体k在吸收辐射能S后质量依然为0的做来回运动，则这个过程便违反了基本的力学定律，因此，是不可能的，所以，物体k在吸收辐射能S后质量必然不为0：
“如果人们假定输运体k甚至在吸收能量S后仍为零质量，那么人们还得假定能量S的返回输运不会伴随着空圆柱体K的位置而改变。这样，整个循环过程的惟一后果是整个系统往左位移了；重复循环过程，人们可以得到任意大的位移。我们因此得到结论，不用有外力作用到上面，原先静止的系统可以任意大地改变其重心位置，而且该系统不会经受到任何持久的改变（注：违反重心守恒定律）。
很清楚，得到的这个结果没有任何内部矛盾。但是它违背了力学的基本定律，按照这些定律，一个原先处于静止的物体，如果没有受到其他物体的作用不可能进行平动。（注：牛顿第一定律）”
另一方面，如果输运体k在吸收辐射能S后质量不为0，而是等于E/V2，则矛盾就消除了：
“然而，如果人们假设任何能量E都具有惯性E/V2，那么和力学原理的矛盾就可以避免。因为按照这个假设，输运体从B到A输运能量S具有质量S/V2。而根据质心定理，在整个过程中整个系统的重心必须静止（注：论文第二部分的目的就是对此的解释），空圆柱K在此期间总共向右边位移δ´，其量为δ´=（Sα）/（MV2）。
和上面求得的结果相比较可以得出(至少在第一阶近似下)δ=δ′，也就是说，系统的位置在循环过程的前后是相同的。这就消除了和力学原理的矛盾。”
论文第一部分《一种特殊情形》就此结束。这一部分主要设定了一个简单的思想实验场景，引出了能量也具有惯性质量的话题。
下面的第二部分则主要证明了发生电磁过程的系统，即第一部分发出辐射能量S的思想实验系统也符合重心守恒定律，以为第一部分的最终论断提供理论基础。
第二部分题为《关于重心运动的守恒原理》，在这一部分爱因斯坦考察了n个分立的具有质量m1，m2，…，mn的质点，其重心坐标为χ1，χ2，…，χn，并做出了下列的几条具体设定：
“就热和电的关系而言，这些质点不被当做基本结构(原子、分子)，而被当做在通常意义下的小尺度的物体，它们的能量不由重心的速度决定。
这些质点既能通过电磁过程也能通过守恒力(例如重力、刚性连接)来相互作用；然而我们将假定，不仅守恒力的势能，而且重心运动的动能相对于这些质量m1，m2，…，mn的‘内’能都为无限小。”
针对上述设定的物理体系，爱因斯坦列出了在整个空间中成立的麦克斯韦-洛伦兹方程1：
（1/V）·（uxρ+∂X/∂t）=∂N/∂y-∂M/∂z，
（1/V）·（uyρ+∂Y/∂t）=∂L/∂z-∂N/∂x，
（1/V）·（uzρ+∂Z/∂t）=∂M/∂x-∂L/∂y，
（1/V）·∂L/∂t=∂Y/∂z-∂Z/∂y，
（1/V）·∂M/∂t=∂Z/∂x-∂X/∂z，
（1/V）·∂N/∂t=∂X/∂y-∂Y/∂x。
其中，ρ=∂X/∂x+∂Y/∂y+∂Z/∂z，表示电密度的4π倍。
（注：上述方程1《爱因斯坦全集》注释[3]说“这个方程的第一项应为‘’，下面的方程的第一项应为‘’”。
论文《关于重心运动的守恒原理》这一部分的讨论类似狭义相对论第二大部分电动力学部分，对不熟悉麦克斯韦电动力学的读者来说只能大体看个论文思路的总体逻辑，具体的公式推导和公式含义就没法解释太详细了。）
将方程1中的各个方程分别乘上VXx/（4π），VYx/（4π）…，VNx/（4π）再加起来，并对整个空间积分，进行几次部分积分，就得到方程2：
=0，
∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]/（4π）+d[∫x·（X2+Y2…+N2）dτ/（8π）]/dt-V/（4π）·∫（YN-ZM）dτ=0
（注：上述方程2《爱因斯坦全集》注释[4]说“积分的系数应为‘-V/4π’。根据后文内容可知是第三项‘-’最前面的系数为‘-V/4π’。”）
方程2的第一项∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]/（4π）代表电磁场提供给物体m1，m2，…，mn的能量E。
根据质量m依赖于能量E的假设，获得了电磁能的单个质点mn会改变其能量，从而也改变它们的质量，则方程2的第一项∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]/（4π）与表达式3相等：V2·∑xn（dmn/dt）。
（注：∑xn（dmn/dt）是质能方程E=mc2中的质量m项，这里笔者认为是物体m1，m2，…，mn的质量和重心的乘积，用的依然是重心守恒定律，方程2的第一项∫[ρx（uX+υY+wZ）dτ]/（4π）也是包含着重心坐标χ的。）
赋予电磁场以质量密度(ρe)，它和能量密度差一个因子1/V2（注：根据质能方程），那么方程2的第二项d[∫x·（X2+Y2…+N2）dτ/（8π）]/dt就变为表达式4：
V2·[d（∫xρedτ）]/d
（注：[d（∫xρedτ）]/dt是质能方程E=mc2中的质量m项，这里是电磁场的质量和重心的乘积，根据电磁学，电磁场也具有质量、动量以及能量，而方程2的第二项d[∫x·（X2+Y2…+N2）dτ/（8π）]/dt也是包含着重心坐标χ的。）
将表达式3和表达式4代入方程2，并设第三项积分为J，则方程2变为方程5：
∑xn（dmn/dt）+d（∫xρedτ）/dt-J/（4πV）=0
（注：方程5这里第三项的系数就是由方程2第三项系数为“-V/4π”化简得来的，方程2到方程5的变化，就是代入表达式3和表达式4后共同除以了共同因数V2得来的。）
为了找出方程2第三项积分J的意义，爱因斯坦在论文中用NV，-MV，-ZV，YV乘以方程1的第二、第三、第五和第六式，并把它相加再对空间积分，利用几次部分积分后就得到了方程6：
dJ/dt=-4πV·∫[ρ（X+υN/V-wM/V）dτ]/（4π）=-4πVRχ
（注：上述方程6《爱因斯坦全集》注释[6]说“最后一项应为‘-4πVRχ’。”）
在论文中爱因斯坦对方程6中的Rχ进行了文字说明：“这里Rχ是电磁场作用到质量m1，m2，…，mn上的所有力在X分量的代数和。由于保守的相互作用引起的所有力的总和为零，Rχ同时是所有作用到质量mv上的X分量的力的总和（注：mv是质量m1，m2，…，mn的总静止质量，没有考虑进相对论质能方程的质增效应）。”
接下来，针对方程6，爱因斯坦在论文中以两种情况做了考察，首先情况一，假设质量与能量无关，则单个质点mv的运动方程为方程7：
mv·（d2xv/dt2）=d[mv·（dxv/dt）]/dt=Жv
其中，Жv所有作用到mv上的力的X分量的合力。
（注：方程7即为牛顿第二定律的微分形式，如果mv是不变量，则为方程7；
如果考虑质能方程，则为+
d[mv·（dxv/dt）]/dt=mv·（d2xv/dt2）+（dmv/dt）·（dxv/dt），这后一个关系和物理学教科书里的相对论力学方程一个意思
F=υ·dm/dt+m·dυ/dt，速度v=dxv/dt。
而mv·（d2xv/dt2）就是牛顿第二定律：力F=质量m×加速度a的微分形式，其等于Жv；
d[mv·（dxv/dt）]/dt则是狭义相对论改写的牛顿第二定律，除了F=ma，还包含了质量m随能量E改变的量，即为相对论力学，其等于Rχ。因为Rχ为电磁场对质量m1，m2，…，mn上的所有力的设定自动暗含了根据麦克斯韦方程组导出的光速不变而推导出的狭义相对论及其质能方程效应。
如果不考虑质量m随能量E改变的相对论质能方程，则方程7第一个等号成立。）
由方程7右边两项可得方程8：
d∑[mv·（dxv/dt）]/dt=∑Жv=Rχ
（注：Rχ=Жv在不考虑质能方程的前提下成立，如果考虑到狭义相对论提出的质量随能量改变，Rχ=Жv则不严格成立，即，考虑质能方程的Rχ≥不考虑质能方程的Жv。）
将方程8代入方程6再积分可得方程9：
J/（4πV）+∑[mv·（dxv/dt）]=常数
以上方程7到方程9的推导以质量与能量无关，如果在质量与能量有关的情况二下，则方程7的第一个等号不再成立，对此爱因斯坦在论文中进行了分析，认为其在忽略二阶项的所需的精确度内——即物体速度远低于光速而相对论质量随速度增加效应不显著时——成立。具体论述如下：
在情况二，即质量与能量有关的前提下，方程7第一个等号的物理量mv·（d2xv/dt2）和d[mv·（dxv/dt）]/dt以方程10来描述：
d[mv·（dxv/dt）]/dt-mv·（d2xv/dt2）=（dmv/dt）·（dxv/dt）=（1/V2）·∫[ρ·（dxv/dt）（uX+υY+wZ）dτ]/（4π）
在论文中爱因斯坦对方程10，即mv·（d2xv/dt2）和d[mv·（dxv/dt）]/dt的关系在考虑质增效应的前提下，进行了文字说明：“（方程10）具有速度的二阶项。因此，如果所有的速度都如此之小，以至于二阶项可被忽略去，那么即便质量mv是变量，方程d[mv·（dxv/dt）]/dt=Жv（注：即d[mv·（dxv/dt）]/dt恒等于Rχ，质增效应不明显时也等于Жv）肯定在所需的精确度内成立，那么方程8和方程9也成立。”
上述论证在忽略二阶项的所需的精确度内公式7和公式8也最终成立的目的就是为了得出公式9在考虑质能方程的前提下依然成立，以最终论证发生电磁过程的系统也符合重心守恒定律。
将方程9代入方程5可得方程11：
d[∑（mv·xv）+∫xre·dτ]/dt=常数
（注：∑（mv·xv）是质体的质量与其重心的乘积，∫xre·dτ是电磁场的能量质量与其重心的乘积。）
由方程11可得方程12，即物体质心的定义：
ξ=[∑（mv·xv）+∫xre·dτ]/（∑mv+∫re·dτ）
其中，ξ是有质体的质量以及电磁场的能量质量的重心的χ坐标。
接着，爱因斯坦对方程12进行了文字说明：“这里，根据能量原理（按照本文提出的解释，质量守恒原理是能量原理的特殊情形。），（方程12）右边分母的值与时间无关（注：洛伦兹变换下的守恒量）。所以我们又可以把方程11写成如下形式dξ/dt=常数。
这样，如果人们从惯性质量E/V2赋予任何能量，那么至少在一阶近似内，重心运动守恒原理也应该对于发生电磁过程的系统成立（注：论文第二部分论证的最终目的）。”
这第二部分的论述其实是解释了第一部分的思想实验必定要符合重心守恒定律，所以，第一部分发生电磁过程的系统——即发出辐射能量S——的思想实验中的输运体k在吸收辐射能S后质量必定不为0，因此，最终得出论文的结论：物体的惯性依赖于它所含的能量。（注：绕了好大圈，刚开始笔者也没看出来目的是这个。）
最后，爱因斯坦以一句话结束了论文《重心运动的守恒原理及能量的惯性》：
“上述研究表明，要么人们必须放弃力学的基本定律，按照这个定律，原先处于静止的物体除非受到外力则不能平动（注：当然不能放弃力学的基本定律），要么人们必须假设物体的惯性依据上述的定律依赖于它所含的能量（注：这个是要接受的，不然爱因斯坦拿一篇论文在这论证啥呢）。”
论文就此正式结束，这篇论文《物理学年鉴》1906年5月17日收到，最终于6月26日发表。