20240527：

    1.我们作为三维生物，是同时生存在三、二、一维、零维世界的，但大脑会自动累加低维数据成三维整体印象，同时抛弃（忽略）低维的局部细节印象。同理，我们本身也可能生活在四维或者更高维世界中，只不过我们只能感知自身在三维世界的那些局部信息而已。

    2.所谓二维空间厚度为零是真的吗？我认为不是，否则二维平面怎么能够堆叠出三维立体来呢？0加无穷个0不还是0吗？所以真实世界中的零厚度二维平面是不存在的，只可以认为它的厚度无穷小，但不等于零。

    同理，真实世界的一维也不是没有宽度的线，零维也不是没有大小的点，或者说真实世界不存在数学概念上的平面、线、点，真实世界的任何东西都是有大小的，尽管它可能无穷小，但不是零。

    20240528：

    二维看三维穿过二维平面的圆锥和半圆，都是突然出现一个点，然后变成一个由小变大的圆面，到达最大后突然消失，那二维生物怎么才能区分这两个三维物体呢？他们能知道这两个三维物体侧面看起来是什么样子么？

    二维生物如果了解CT或者核磁切片扫描图片的用法，那就能。它们可以将这两个三维物体穿越二维平面的逐层切片（一系列圆面），然后取各切片的直径，就是给它降维到一维，再将这些直径在它们的垂直方向排列叠加起来，就再次升维到一个新的二维图案了，这时就能看出来穿过它们世界的这两个三维物体的侧面（投影）形象了，一个是三角形一个是半圆。

    我们同样可以利用这个方法来观察四维物体穿过三维后，它在四维空间中的侧面投影形象，例如一个四维圆锥和一个四维半圆，如果它们穿过三维世界的“截面”或称为“截体”是一个由小变大直到最大后突然消失的球体，那么，我们给这个球体做一系列测地线大圆切片，给它降维至二维，然后沿这些圆的垂线方向叠加，就能再次升维到两个新的三维体了，这就是这两个四维物体在四维空间的侧面（投影）形象了，它们一个是圆锥体，另一个是半球体，虽然我们并不明白为什么四维物体的侧面（投影）看起来会是三维体的，也不明白四维物体的每一“层”圆球体“切体”是怎么像二维平面一样叠加成四维超圆锥体或四维超半球体的的。

    而高斯、黎曼之后的数学家们，更是可以利用虚数、集合、拓扑等数学方法研究更多维度甚至任意维度的世界特征。虽然人类看不见也感受不到高维世界，但人类却能计算它们，甚至将来还有可能利用它们，数学就是这么奇妙！

    数学家的世界其实并不枯燥，而是常人难以想象的奇妙和有趣！

    可惜我没有数学天赋，没能够领略那些美妙的世界！